2024년 9월 고1 모의고사 수학 단답형 (26~28번)

안녕하세요, 오늘은 지난시간 객관식문제 21번까지 끝낸 것에 이어서 단답형 4점짜리 문항들 풀이해보도록 하겠습니다.

26번

• 점과 직선사이의 거리 공식 이용하여 d를 구해야 합니다. 각 점 A, B, C, D는 각각 직선 l1과 l2의 x절편, y절편이기 때문에 좌표를 구하는 것은 어렵지 않습니다. 각 좌표를 구한 뒤, 사각형을 적절히 두 삼각형으로 나누어서 넓이가 25인 점을 이용하여 답을 구하면 됩니다.
• 또한 직선 l2는 l1과 평행하다는 점(기울기가 같음), y절편이 양수라는 힌트가 주어졌습니다.

왼쪽-오른쪽-아래쪽 순서로 보세요^^

 

27번

• 그림만 보고서 지레 겁먹지 마십시오. 생각보다 어렵지 않습니다.
• 원의 중심각과 원주각 개념만 알고 있다면 차근차근 풀어나갈 수 있습니다.
• 먼저 문제를 따라서 대칭이동 해줍니다. A(a,2) -> B(2,a) -> C(2,-a)
• y=x에 대칭이 되는 두 점 A, B이기 때문에 원점(O)에서의 거리가 각각 같을 것입니다. 따라서 원점(O)은 큰 원의 중심이 되는 것이 참으로 확인되었습니다. 
• 다음은 선분AC가 작은 원의 지름이 맞는지 확인하겠습니다. 삼각형 AOC와 삼각형 ABC가 보이시나요? 이들은 모두 선분 AC를 공유하고 있습니다. 선분 AC가 작은 원의 지름이 맞다면, 이 삼각형들은 각각 중심각과 원주각이 될 것입니다. 그렇다면 중심각이 원주각의 2배가 되는지 확인해보아야합니다.
• 각AOC는 직각(90도)입니다. 왜냐하면 선분 AO와 OC의 기울기의 곱이 -1이기 때문입니다. 그렇다면 각 ABC는 45도(90도의 절반)일까요? 그래프를 그려 확인하겠습니다. 

자 위의 그림과 같이 선분AB를 빗변으로 하는 직각삼각형을 그려보면, 가로의 길이와 세로의 길이가 같은 직각이등변삼각형이라는 것을 확인할 수 있습니다. 따라서 각 ABC는 45도가 맞고, 중심각과 원주각의 관계라는 것이 확인되었습니다. 결론은, 선분AC가 작은 원의 지름이라는 것입니다.

<풀이1>

• 큰 원과 작은원의 반지름을 구해보겠습니다.
• 큰 원의 반지름 r1 = 선분OA의 길이 = 루트(a^2  + 4)
• 작은 원의 반지름 r2 = 선분AC의 길이 / 2 = 루트[(a-2)^2+(a+2)^2] / 2
• r1*r2 = 18루트2라는 계산식을 풀면 a제곱은 32가 나옵니다.

<풀이2>

• 삼각형 AOC 또한 직각이등변삼각형입니다. AC가 작은 원의 지름으로 확인되었고, 각 AOC는 작은 원의 중심각으로서 90도이며, 선분 AO와 OC가 각각 큰 원의 반지름이기 때문에 길이가 같습니다(r1). 
• 즉 AC(지름)는 피타고라스의 정리를 통하여 r1루트2라는 것입니다. r1*r2 = r1 * (r1루트2 / 2) = 18루트2
• r1^2 = 36, 선분OA^2 = a^2 + 4 = 36, 따라서 a^2은 32입니다.

28번

• 그래프를 그려본다. : 최고차항의 계수가 양수, x축에서 만나는 점을 이용하여 그린다.
• 최고차항의 계수를 k, 2와 a가 이차방정식의 두 해임을 이용한다.
• 꼭짓점의 좌표를 구하고, y절편의 좌표를 구한다.
• 정사각형이므로 기울기가 같다는 점과 가로길이와 세로길이가 같다는 점을 이용하여 a와 k를 구한다.
• f(x)를 완벽히 구현해낸 후 f(12)의 값을 도출한다.

그래프 그리기, 꼭짓점과 y절편 좌표 구하기

기울기가 같은 점 이용 : a=6

길이가 같은 점 이용 : k=1/2

 

다음 시간에는 마무리 문제 29~30번으로 찾아뵙겠습니다.

 

2024년 9월 고1 수학 모의고사 객관식 (14~18번)

2024년 9월 고1 수학 모의고사 객관식 (14~18번)

2024년 9월 고1 수학 모의고사 객관식 (19~21번)

2024년 9월 고1 수학 모의고사 객관식 (19~21번)