2024년 9월 고1 수학 모의고사 객관식 (14~18번)

안녕하세요, 이번주는 올해 9월 4일 치러진 고1 수학 모의고사 4점짜리 문항들만 풀이해 보도록 하겠습니다. 항상 하던 대로 문제파악 후 상황파악 하며 순차적으로 접근하여 차근차근 풀어나가도록 하겠습니다.

14번

• 이차방정식이 실수k의 값에 관계없이 항상 중근을 가진다 => 판별식이 0이다. 
• x의 계수가 2로 묶여있기 때문에 짝수판별식을 이용하는 것이 계산하기에 용이할 것 같습니다.
• D/4 = (k-a)^2 -k^2 + 4k - b = o  => k의 제곱은 소거됩니다.
• 식을 정리하면 k(4-a) + a^2 - b = 0
• 4-2a=0, a^2-b=0
• a=2, b=4

15번

• 삼차방정식의 서로 다른 실근의 개수가 2라는 것은, 한 근은 중근이고, 다른 실근이 하나 더 존재한다는 뜻입니다.
• 조립제법 : 다항식을 내림차순으로 정리하여 계수들만 표기하는 간단한 계수들의 조립에서 간단한 곱셈과 덧셈으로만 이루어지는 적은 계산을 통해 보다 효율적이고 간단하게 수행하는 방법이다.
• 조립제법을 이용하겠습니다. 조립제법을 수행하기 전, x에 1을 대입해 보는 습관을 들여봅시다. x에 1을 대입하였을 때 0이 나온다면 그 다항식은 x=1이라는 해를 하나 갖는 것으로 해석할 수 있습니다. 
• x=1 대입 : 1 + 5 +(a-6) - a = 0
• 여기서, 두 가지 케이스로 나누어서 풀어야 합니다. 첫 번째는 1이 중근인 경우, 두 번째는 1이 아닌 다른 두 근이 중근인 경우입니다.
• 1. x=1이 중근인 경우 : 조립제법에서 1을 두 번 나누어줍니다. => (x-1)^2(x+7) = 0 => x=1(중근), x=-7, a=-7이라는 것까지 구할 수 있습니다.
• 2. 1이 아닌 다른 두 근이 중근인 경우 : (x-1)(x^2-6x+a)=0 에서 두 번째 항의 이차함수에서, 판별식=0으로 중근임을 나타내겠습니다. 짝수판별식 D/4 = 9-a = 0 => a=9 임을 확인하였습니다.
• 따라서 모든 실수 a의 값의 합은 -7+9=2

16번

• 원C와 직선 y=kx가 접한다 : 원의 중심에서 직선사이의 거리가 원의 반지름이 된다는 의미입니다.
• 점과 직선사이의 거리 공식을 적용하겠습니다.
• 1. 원의 중심(a, a)과 직선 kx-y=0 사이의 거리 = 반지름인 루트 10
• 루트 10 = |ka-a| / 루트(k^2+1)
• 2. 중심과 직선 y=2x사이 거리가 루트 5인 정보도 동일하게 적용하면 a=5
• 1 번식에 a를 적용하여 계산하면 k의 값은 1/3 또는 3이 나옵니다. 문제에서 k는 0과 1 사이에 있다고 하였으므로 답은 1/3이 되겠습니다. 

17번

• 저는 이 문제를 큰 삼각형에서 작은 두 삼각형의 넓이를 빼는 방식으로 사각형의 넓이를 구했습니다. 

17번풀이

• 점들의 좌표만 잘 구해내면 어렵지 않게 k에 대한 이차함수식을 도출할 수 있고, 이차함수의 최대최소 유형을 이용하여 완전제곱꼴로 만들어, k의 범위가 1에서 3 사이에서, k가 9/4일 때 최댓값이 81/16 임을 도출하였습니다.

18번

• (가) 조건에서 f(x) = *(x-1)(x^2+x+1)**R(x) + R(x)   (* 인수분해 **몫과 나머지가 서로 같음)
• (나) 조건에서 f(x)-x = (x^2+x+1) Q(x)  => f(x) = (x^2+x+1)Q(x) + x  => f(x)는 x라는 나머지가 있다.
• f(x)를 x-2로 나눈 나머지가 72 => f(2) = 72

 

• (1) 첫 번째 케이스 : 나머지 R(x)가 x인 경우 
• f(x) = (x-1)(x^2+x+1) x + x
• f(2) = 1*(4+2+1)*2 + 2 = 9  => 72가 나와야 하는데 9이므로 첫 번째 케이스는 틀렸음

 

• (2) 두 번째 케이스 : R(x)가 2차식 
• f(x)는 x라는 나머지가 나와야 하고, R(x)가 2차식이라면 (x^2+x+1)가 또 들어갔을 수 있음
• 따라서 R(x) = (x^2+x+1) Q'(x) + x
• Q'(x)는 상수항일 수밖에 없음, R이 이차식이기 때문에. 따라서 k라고 놓는다.
• R(x) = k(x^2+x+1) + x
• 여기서, f(2) = 72 임을 이용 : f(2) = 7*R(2) + R(2)    (R(2) = 7k+2)
• f(2) = 7(7k+2) + 7K+2 = 72  => 여기서 k=1
• 마무리 : f(1) = R(1) = 4

다음 시간에는 19~21번 어려운 문항으로 찾아뵙도록 하겠습니다 ㅎㅎ. 

 

2025학년도 9월 고1 모의고사 수학 대비하기

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